0的簡史：存在的不存在

出自於Gregor Reisch在1503年編撰的百科全書《Margarita Philosophica》。圖裡呈現了珠串計算方式和阿拉伯數字演算法的對抗。右邊代表了使用串珠的計算方法，左邊則代表了使用阿拉伯數字的演算法，而畫面中央的女性是「算數女神」。我們從她裙子上的數字可以很清楚地看出來，她偏好的是哪一方。

喬托的圓形

在瓦薩利（Giorgio Vasari）的《藝術家的生平》(Lives of the Most Eminent Painters, Sculptors, and Architects) 裡記載了一段有關文藝復興藝術的重要開創者喬托(Giotto di Bondone)的軼事：有一天，教宗聽說了喬托的聲名，派一個大臣拜訪喬托，要喬托提供作品來證明自己的繪畫能力。喬托知道了大臣的來意之後，謙遜地拿出紙和沾了顏料的畫筆，夾緊手臂，把自己的手臂當成圓規，畫出了一個精確無比、令人稱奇的圓形。當喬托把這張圖遞給大臣時，大臣驚恐地問他：「你確定就只是這張草圖？沒其它的了嗎？」喬托：「是啊！這樣就夠了！」在瓦薩利筆下，這個故事結束於，教宗最後的確因為這個「圓形」肯定了喬托的精湛技藝。

撇開這個故事的真實性不談，瓦薩利到底想藉這個「圓形」來告訴我們什麼？首先，這個故事反映出，「素描」在文藝復興時期，相對於有顏色的「繪畫」，被推崇為「藝術的本質」。在這個觀點下，「線條」比「顏色」更能表現出實體世界的真相。此外，這個故事也說明了，一個真正的藝術家有能力把自己的身體轉變成「技術」。不過在這個故事裡，最重要的是喬托畫下來的「圓形」。因為他用手臂當成圓規畫出來的「圓形」事實上是一種純然抽象、只存在於概念世界中的東西。喬托用來證明自己繪畫能力的方式並不是，他能完美地「複製」我們看得到的外在世界，而是，他有能力用藝術把原來「不可見」的抽象概念，「建構」出來，變成「可見」的圖形。

零的概念和0的誕生

在今天，我們雖然未必能像喬托一樣，徒手畫出一個完美的圓。不過你知道嗎?只要我們能畫出一個圓圈，把它當成數字「零」來閱讀、使用，我們就擁有了一個文藝復興時代以前的人無法想像也未曾擁有的能力：用「0」代表「不存在」的能力。

毫無疑問的，寫出「0」是一個在小學低年級就得學會、理所當然的能力。不過，當我們回顧歷史，我們會發現，在西方歷史上，接受「0」能代表「沒有」和「空缺」是一個極為艱辛而且緩慢的過程。

事實上，今天我們所用的數字在12世紀就已經從阿拉伯傳入歐洲。不過，這些阿拉伯數字，包括0，一直要到17世紀，才真正被「接受」。我們必須知道的是，在古希臘、羅馬時代並沒有「零」的概念。對他們來說，最小的單位是1，而在1之前，並不存在0。這雖然表面上看起來有點不可思議，不過卻不難理解，因為一個上帝創造出來、確實「存在」的世界怎麼會容許「不存在」的存在呢？「不存在」的概念在本質上是和「存在」互相矛盾的。此外，我們更可以回到現實的世界裡來解釋。拿一盤蘋果來舉例，如果我們要計算盤子裡有幾個蘋果，這邊的前提是：盤子裡至少得有一顆蘋果。如果盤子裡沒有蘋果的話，我們根本無從數起，也不會知道我們現在要數的東西是蘋果，更遑論意識到「盤子裡沒有蘋果」這個事實。因為所有的計算都是從1開始數起的，我們會算一個、兩個、三個…蘋果，不過，不會從零個，然後接著一個、兩個、三個…算下去。要知道盤子可能會是「空的」，我們必須先知道這個盤子裡曾經有過蘋果，意識到蘋果會減少，然後在未來的某個時刻，盤子裡會「沒有蘋果」！

「零」的概念只能發生在其他數字之後。而且，「零」之所以會形成，是因為我們瞭解到事物會匱乏、減少，或是經過「比較」意識到自己和其他人的差異(你有，可是我「沒有」！)。

在歷史上，「0」的誕生並不只是「哲學上」的單純意義而已。因為從此以後，我們就可以用一個確實「存在」、「可見」的「圓圈」來代表「不可見」的「不存在」和「無」的狀態。譬如說，我們可以在數學題目「5 – 5 =」後面寫下「0」。這邊的0當然和你在題目後面「留白」的意義相差很大，因為0代表的是你知道答案結果是「零」，不過「空白」卻是「沒有回答」。「0」賦予了「無」一個確切的表達方式，也讓「不存在」得以被指稱、描述和傳遞。

在西方數學史上，在「0」在16世紀被接受成為一個數字之前，使用的是羅馬數字(也就是我們常在書裡看到的I、II、III、IX、X編號方式)。在這邊，所有的運算只能透過「算盤」或是「珠串表」先算好，最後才把結果寫到紙上。在16世紀以後，因為使用「0」和其他阿拉伯數字，數學才終於可以「直接」在紙上運算，不再仰賴其它工具。而也因為接受了「0」，笛卡爾(René Descartes)才發明了座標系統(X軸和Y軸的交點正是「0」)，讓兩個不同領域的數值、資料能放在一起被比較、分析，產生關係。

在16世紀時，當人們終於懂得用「畫一個圓」的方式來代表「不存在」，他們就像是能把手臂當成圓規畫出完美圓形的喬托一樣，從可見的外在世界，走向了「不可見」的抽象世界，而且就像是喬托一樣，他們有能力用一個圓圈、一個可見的符號，把從來「不存在」也不可能「存在」的「不存在」，用一種明晰的方式記寫下來，帶到我們的眼前。

而這或許是我們今天在數學練習簿、匯款單上寫下0時，從來沒有意識到的事吧？